问题
问答题
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=
(b＞0)
其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
(1)求a，b的值；
(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
答案
参考答案：[详解] (1)二次型f的矩阵为
[*]
设A的特征值为λi(i=1，2，3)，由题设，有
∑λi=a+2+(-2)=1；
∏λi=|A|=2(-2a-b2)=-12．
解出a=1，b=2．(已知b＞0)．
(2)由矩阵A的特征多项式
[*]
=(λ-2)2(λ+3)，
解出A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3．
对λ=2，由(2E-A)X=0，即
[*]
得基础解系α1=(0，1，0)T，α2=(2，0，1)T，即λ=2的线性无关的特征向量．对λ=-3，由(-3E-A)X=0，即
[*]
得基础解系α3=(1，0，-2)T，即λ=-3的特征向量．
由于α1，α2已正交，故只需单位化，有
γ1=(0，1，0)T，[*]
那么，令 [*]
则在正交变换x=Py下，二次型f有标准形．
f(x1，x2，x3)=xTAx=yTAy=[*]