问题 问答题

设函数f(x)在(-L,L)内连续,在x=0可导,且f’(0)≠0.
(1)求证:对任意给定的0<x<L,存在0<0<1,使


(2)求极限

答案

参考答案:[详解] (1)令[*],则F(x)在[0,x]上可微,且F(0)=0,根据拉格朗日中值定理,[*]0<θ<1,使F(x)-F(0)=F’(θx)·x
即:[*]
(2)由(1)中等式得
[*]
令x→0+,两边分别取极限,由于
[*]
[*]
于是有 [*]
由于f’(0)≠0,故[*]

解析:

[分析]: (1)对左端函数在[0,x]上直接应用拉格朗日中值定理即可.(2)利用(1)的结果,把左端凑成导数定义形式,然后取极限,左端可应用洛必达法则并结合导数的定义求极限.
[评注] (1)也可用积分中值定理证明:
[*]
=x(f(θx)-f(-θx)),
其中ξ在0与x之间,故ξ=θ,0<θ<1.

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名词解释