（1）∵h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）=（2sina-

1

2

）sinx+（

3

2

-2cosa）cosx

∴函数h（x）的相伴向量

OM

=（2sina-

1

2

，

3

2

-2cosa），

∴h（x）∈S…（4分）

（2）∵|

OM

|=

(2sina- 1 2 )2+( 3 2 -2cosa)2

=

5-2sina-2 3 cosa

=

5-4sin(a+ π 3 )

∴|

OM

|_max=

5+4

=3，|

OM

|_min=

5-4

=1

∴|

OM

|的取值范围为[1，3]…（10分）

（3）

OM

的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），

其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

当x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，

∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，

∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2× a b

1-( a b )2

=

2

b a - a b

．

∵

b

a

为直线OM率，由几何意义知

b

a

∈（0，

3

]

令m=

b

a

，tan2x₀=

2

m- 1 m

，m∈（0，

3

]

∵m∈（0，

3

]，故

1

m

≥

3

3

，-

1

m

≤-

3

3

，

∴m-

1

m

∈（-∞，

2 3

3

]，

∴tan2x0∈(-∞，0)∪[

3

，+∞)…（18分）