问题
解答题
已知函数f(x)=
（1） 判断并证明函数f（x）的奇偶性 （2）判断并证明当x∈（-1，1）时函数f（x）的单调性； （3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x-1）+f（x）＜0． |
答案
（1）∵y=x2+1为偶函数，y=x为奇函数
根据函数奇偶性的性质，我们易得
函数f(x)=
为奇函数．x x2+1
（2）当x∈（-1，1）时
∵函数f(x)=x x2+1
f'（x）=
＞0恒成立1-x2 (x2+1)2
故f（x）在区间（-1，1）上为单调增函数；
（3）在（2）成立的条件下，不等式f（2x-1）+f（x）＜0可化为：
-1＜2x-1＜1 -1＜x＜1 x＜1-2x
解得：0＜x＜1 3
∴不等式的解集为(0，
)．1 3