问题
选择题
函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x、y∈R，都满足f（x）•f（y）=f（x+y），则下列四个结论中，正确的个数是（ ）
（1）f（0）=0； （2）对任意x∈R，都有f（x）＞0； （3）f（0）=1；
（4）若x＜0时，有f（x）＞f（0），则f（x）在R上的单调递减．
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
答案
令x=y=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），
所以f（0）•f（0）=f（0），
解得：f（0）=0或者f（0）=1．
令x=0代入f（x）•f（y）=f（x+y），可得代入f（0）•f（y）=f（y），
因为函数y=f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，
所以f（0）=1．
所以（3）正确．
因为对于任意x∈R，都有f(x)=f(
+x 2
)=[f(x 2
)]2 ≥0，并且 f(x 2
)≠0，x 2
所以f（x）＞0．
所以（2）正确．
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=f[（x1-x2）+x2]-f（x2）=f（x2）[f（x1-x2）-1]，
因为x1-x2＜0，
所以f（x1-x2）＞f（0）=1，
所以f（x1-x2）-1＞0．
又因为f（x2）＞0，
所以f（x2）f[（x1-x2）-1]＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，
所以f（x）在R上是减函数．
所以（4）正确．
故选C．