问题
解答题
已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+
（1）若△ABC是正三角形，求y的值； （2）若任意交换△ABC中两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论； （3）若△ABC中有一内角为45°，求y的最小值． |
答案
（1）若△ABC是正三角形，则A=B=C=
，π 3
y=cotA+
=2sinA cosA+cos ( B-C )
+3 3
=3
+11 2
．3
（2）∵y=cotA+
=2sinA cosA+cos ( B-C ) cos2A+cosAcos(B-C)+2sin2A sinAcosA+sinAcos(B-C)
=
=1+sin2A-cos(B+C)cos(B-C)
sin2A+sin(B+C)cos(B-C)1 2 1+
-1-cos2A 2
(cos2B+cos2C)1 2
[sin2A+sin2B+sin2C]1 2
=
．3-( cos2A+cos2B+cos2C) sin2A+sin2B+sin2C
∴若任意交换△ABC中两个角的位置，则y的值不会发生变化．
（3）若△ABC中有一内角为45°，不妨设A=45°，则B+C=135°．
y=
=3-( cos2A+cos2B+cos2C) sin2A+sin2B+sin2C
=3-(cos2B+cos2C) 1+sin2B+sin2C 3-2cos(B+C)cos(B-C) 1+2sin(B+C)cos(B-C)
=
=1+3+
cos(B-C)2 1+
cos(B-C)2
．2 1+
cos(B-C)2
故当cos（B+C）=1（最大值）时，y有最小值为1+
=22 1+ 2
-1．2
