问题
解答题
设函数f(x)=ax2-2
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围； （2）当a是整数时，存在实数x0，使得f（x0）是f（x）的最大值，且g（x0）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）； （3）定义函数h（x）=-（x-2k）2-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）． |
答案
（1）当b=0 时，f（x）=ax2-4x，（1分）
若a=0，则f（x）=-4x 在[2，+∞） 上递减，不合题意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x） 在[2，+∞） 上单调递增，则
，即a≥1；（6分）a＞0
≤24 2a
（2）若a=0，则f（x）=-2
x无最大值，不合题意，故a≠0，（7分）4+2b-b2
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值⇒
⇒a＜0 4+2b-b2≥0
，（9分）a＜0 1-
≤b≤1+5 5
此时，当x=x0=
时，f（x）取到最大值，（10分）4+2b-b2 a
显然，当且仅当x=x0=a时，g（x）取到最小值，故
=a∈Z，（11分）4+2b-b2 a
于是a2=
=4+2b-b2
≤5-(b-1)2
(12分)5
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以满足题意的实数对为（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x2+4kx-4k2-2x+k=-[x-（2k-1）]2+1（16分）
∴h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），∴xn=2n-3，n∈N*．（18分）