问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
（2）是否存在自然数a，使
（3）利用（2）的结论来比较
|
答案
（1）f（x）+f（1-x）
=
+ax ax+ a a1-x a1-x+ a
=
+ax ax+ a a a+ax a
=2aax+a2x
+aa a (ax+
)(a+axa
) a
=1．
f(
)+f(1 10
)+f(2 10
)+…+f(3 10
)9 10
=[f(
) +f(1 10
) ]+[f(9 10
)+f(2 10
) ]+[f(8 10
) +f(3 10
) ]+[f(7 10
) +f(4 10
) ]+f(6 10
)1 2
=4+a 2 a
=
．9 2
（2）假设存在自然数a，使
＞n2对一切n∈N都成立．
f(n)a f(1-n)
由f(n)=
，f(1-n)=an an+ a a
+ana
得
=…=
f(n)a f(1-n)
=an，
ana a
当a=1，2时，不等式an＞n2显然不成立．
当a≥3时，an≥3n＞n2，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+
×2+C 1n
×22+…≥1+2n+4×C 2n
=2n2+1＞n2成立，n(n-1) 2
则 3n＞n2对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3n＞n2⇒3
＞n（n∈N），n 2
所以3
＞1＞0，31 2
＞2＞0，…，32 2
＞n＞0，n 2
相乘得3
(1+2+…+n)＞n!，31 2
＞n!，n(n+1) 4
(n+1)nlg3＞lgn!成立．1 4