问题
解答题
已知函数f（x）=lg
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明． （3）求证：f（a）+f（b）=f（
（4）若f（
|
答案
（1）∵
| 1+x |
| 1-x |
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=1g
| 1-x |
| 1+x |
| 1+x |
| 1-x |
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）=lg
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a |
| 1-a |
| 1-b |
| 1+b |
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg
| 1+a |
| 1-a |
| 1+b |
| 1-b |
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b-ab |
又∵f（(
| a+b |
| 1+ab |
1+
| ||
1-
|
| 1+a+b+ab |
| 1-a-b+ab |
∴f（a）+f（b）=f（(
| a+b |
| 1+ab |
（4）∵f（a）+f（b）=f（(
| a+b |
| 1+ab |
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f（(
| a-b |
| 1-ab |
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
