问题
解答题
已知函数f（x）=lg
（1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明． （3）求证：f（a）+f（b）=f（
（4）若f（
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答案
（1）∵
＞01+x 1-x
∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1）
∵定义域关于原点对称
f（-x）=1g
=lg1-x 1+x
=-f（x）故f（x）为奇函数1+x 1-x
（2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b
则f（a）-f（b）=lg
-lg1+a 1-a
=lg(1+b 1-b
÷1+a 1-a
)=lg(1+b 1-b
•1+a 1-a
)＞01-b 1+b
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
（3）∵f（a）+f（b）=lg
+1g1+a 1-a
=1g1+b 1-b 1+a+b+ab 1-a-b-ab
又∵f（(
)）=1ga+b 1+ab
=1g1+ a+b 1+ab 1- a+b 1+ab
，1+a+b+ab 1-a-b+ab
∴f（a）+f（b）=f（(
)）a+b 1+ab
（4）∵f（a）+f（b）=f（(
)）a+b 1+ab
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f（(
)），a-b 1-ab
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=
，f（b）=-3 2
．1 2