设函数f（x）=log2（x+1）-log2（x-1）．（1）求函数f（x）的

问题解答题

设函数f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．

（1）求函数f（x）的奇偶性

（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；

（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．

定义域为（1，+∞）不关于原点对称

故函数f（x）为非奇非偶函数

（2）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）=log2

x+1

x-1

（x＞1）

令g（x）=

x+1

x-1

=1+

x-1

，设x₁＞x₂＞1

则g（x₁）-g（x₂）=1+

x1-1

-(1+

x2-1

2(x2-x1)

(x1-1) (x2-1)

∵x₁＞x₂＞1

∴g（x₁）-g（x₂）＜0

∴函数f（x）在（1，+∞）单调递减

（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，

则m＞[f（x）-2^x]_max=[log2

x+1

x-1

-2^x]_{max
而log2
x+1
x-1
-2^x在（3，+∞）上单调递减
∴[log2
x+1
x-1
-2^x]＜-7
∴实数m的取值范围是m≥-7}