问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求证：函数f（x）是偶函数； （2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性； （3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不需要证明． |
答案
（1）当x＞0时，-x＜0，则f(x)=
，f(-x)=-x2+x+4 x
=(-x)2-(-x)+4 (-x)
，x2+x+4 x
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，则f(x)=-
，f(-x)=-x2-x+4 x
=-(-x)2+(-x)+4 (-x)
，x2-x+4 x
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，f(x)=
=x+x2+x+4 x
+1，4 x
设x2＞x1＞0，则f(x 2)-f(x1)=
(x1•x2-4)．x2-x1 x1•x2
当2≥x2＞x1＞0时，f（x2）-f（x1）＜0，∴函数f（x）在（0，2]上是减函数．
（3）根据偶函数的图象的对称性可得，函数为增函数．