问题
解答题
已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小值； （Ⅱ）若α-β≠kπ，k∈Z且α，β是方程f（x）=0的两个根，求证：sin（α+β）=cos（α+β）． |
答案
（Ⅰ）f（x）=acos2x+
sin2x+ab 2
由f（0）=2 f（
）=π 3
+1 2 3 2
得a+a=2 -
+a 2
+a=
b3 4
+1 2 3 2
解得a=1 b=2
所以f（x）=cos2x+sin2x+1=
sin（2x+2
）+1π 4
所以f（x）min=1-
，此时x=kπ+2
，k∈Z5π 8
（Ⅱ）α，β是方程
cos（2x-2
）+1=0的两个根π 4
∴
sin（2α+2
）+1=π 4
sin（2β+2
）+1即sin（2α+π 4
）=sin（2β+π 4
）π 4
∴2α+
=2kπ+2β+π 4
①或2α+π 4
=2kπ+π-（2β+π 4
）②π 4
α-β≠kπ，
∴①舍去，由②得
α+β=kπ+π 4
∴tan（α+β）=tan（kπ+
）=1π 4
∴
=1sin(α+β) cos(α+β)
即sin（α+β）=cos（α+β）．