问题
解答题
（1）利用定义证明：函数f（x）=x3-3x在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增；
（2）设x0是方程x3-3x=100的正实数解，利用（1）的结论，求证：4＜x0＜5．
答案
（1）任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2
∴f（x1）-f（x2）=（x13-3x1）-（x23-3x2）
=x13-x23-3x1+3x2 =(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3)
∵0≤x1＜x2，即x1-x2＜0
当x1，x2∈[0，1]时，x12+x1x2+x22-3＜0，有f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）；
当x1，x2∈[1，+∞）时，x12+x1x2+x22-3＞0，有f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
由单调性定义得：f（x）=x3-3x在[0，1]上单调减，在[1，+∞）上单调增；
（2）由于f（x）=x3-3x=x（x2-3），当0≤x≤
时，f（x）≤0＜100，3
∴方程x3-3x=100的正实数解x0＞3
又∵f（x）=x3-3x在[1，+∞）上的增函数，且f（x0）=100，f（4）=52，f（5）=110，
∴f（4）＜f（x0）＜f（5），即4＜x0＜5．