（1）设点M（x，y），则

|OM|=

x2+y2

，|AM|=

(x-3)2+y2

∵

|OM|

|AM|

=

1

2

，∴|AM|=2|OM|即

(x-3)2+y2

=2

x2+y2

…4分

两边平方整理，得：x²+y²+2x-3=0，即为所求曲线C的方程．…6分

（2）由（1）得x²+y²+2x-3=0，整理得（x+1）²+y²=4

∴曲线C是以（-1，0）为圆心，半径r=2的圆．

i）当过点N（1，3）的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，显然与圆相切；…8分

ii） 当过点N（1，3）的直线的斜率存在时，设方程为y-3=k（x-1）

即kx-y+3-k=0                               …9分

∵直线与圆相切．得圆心到该直线的距离等于半径，

∴

|-k+0+3-k|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，…11分

可得直线方程为5x-12y+31=0                 …12分

所以过点N（1，3）与曲线C相切的直线方程为x=1或5x-12y+31=0．…13分