问题 解答题
已知曲线C是动点M到两个定点O(0,0)、A(3,0)距离之比为
1
2
的点的轨迹.
(1)求曲线C的方程;
(2)求过点N(1,3)与曲线C相切的直线方程.
答案

(1)设点M(x,y),则

|OM|=

x2+y2
,|AM|=
(x-3)2+y2

|OM|
|AM|
=
1
2
,∴|AM|=2|OM|即
(x-3)2+y2
=2
x2+y2
…4分

两边平方整理,得:x2+y2+2x-3=0,即为所求曲线C的方程.…6分

(2)由(1)得x2+y2+2x-3=0,整理得(x+1)2+y2=4

∴曲线C是以(-1,0)为圆心,半径r=2的圆.

i)当过点N(1,3)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,显然与圆相切;…8分

ii) 当过点N(1,3)的直线的斜率存在时,设方程为y-3=k(x-1)

即kx-y+3-k=0                               …9分

∵直线与圆相切.得圆心到该直线的距离等于半径,

|-k+0+3-k|
k2+1
=2,解之得k=
5
12
,…11分

可得直线方程为5x-12y+31=0                 …12分

所以过点N(1,3)与曲线C相切的直线方程为x=1或5x-12y+31=0.…13分

单项选择题 共用题干题
单项选择题

  当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时,他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数学模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模拟的统计手段,而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。

  蒙特卡罗模拟因摩洛哥著名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”,而当一种模式足够精确时,它能发生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷:如果输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数,而却构成一些微妙的非随机模式,那么整个的模式(及其预测结果)都可能是错的。

  最近,由美国佐治亚大学的费伦伯格博士作出的一份报告证明了最普遍用以产生随机数串的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现。出现这些错误的根源在于:这5个程序产生的数串其实并不随机,它们实际上隐藏了一些相互关系和样式,这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特性时才表露出来。贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信靠一个计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。”

费伦伯格博士的报告证明了()。

A.有5个用来处理随机数的计算机程序出现错误

B.有5个用来处理模型的随机程序出现错误

C.有5个计算机程序所产生的随机数串出现错误

D.有5个计算机程序所产生的数学模型出现错误