问题
解答题
设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围．
答案
（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(
，+∞)…（4分）2 3
（2）F（x）=ax-|x-a|，
当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，
所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）
当a≠0，F（a）=a2，F（-a）=-a2-2|a|
∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0
F（a）-F（-a）=2a2+2|a|≠0
所以，F（x）为非奇非偶函数． …（10分）
（3）G(x)=ax|x-a|=
，…（12分）a(x-
)2-a 2 a3 4 x≥a -a(x-
)2+a 2 a3 4 x＜a
①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．
当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，
]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）a 2
②当a＜0时，G（x）在[a，
]上递增，在[a 2
，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．a 2
综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）