设函数f（x）=ax+3a（其中a＞0且a≠1）．（1）求函数y=f-1（x）

问题解答题

设函数f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．

（1）求函数y=f^-1（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=log_a（x-a），h（x）=f^-1（x）+g（x），如果当x∈[a+2，+∞）时，h（x）≤1恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）f^-1（x）=log_a（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）

（2）h（x）=f^-1（x）+g（x）=log_a（x-3a）+log_a（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²），x∈（3a，+∞）．…（6分）

依题意，a+2＞3a⇒0＜a＜1．…（8分）

由h（x）≤1⇒log_a（x²-4ax+3a²）≤1⇒x²-4ax+3a²≥a，即x²-4ax+3a²-a≥0．…（10分）

设T（x）=x²-4ax+3a²-a，其对称轴x=2a＜a+2，所以函数T（x）在[a+2，+∞）单调递减．

由T（x）_min=T（a+2）=（a+2）²-4a（a+2）+3a²-a=4-5a≥0，解得a≤

．…（13分）

又0＜a＜1，所以a的取值范围是( 0 ，

]．…（14分）