给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函

问题解答题

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

x2-

x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

答案

（1）∵f₁（

）=0∉（0，1），

∴f（x）在D₁上不封闭；

∵f₂（x）=-（x+

）²+

在（0，1）上是减函数，

∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，

∴f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封闭；

∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，

∴f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封闭；

∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，

∴f₄（x）∈（cos1，1）⊂（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封闭；

（2）f（x）=5-

a+10

x+2

，假设f（x）在D₂上封闭，对a+10讨论如下：

若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有

f(1)≥1

f(2)≤2

⇒

a≤2

a≥2

⇒a=2

若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，

若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有

f(1)≤2

f(2)≥1

⇒

a≥-1

a≤-6

，无解，

综上可得，a=2时f（x）在D₂上封闭．