问题
解答题
已知圆2x2+2y2-8x-8y-1=0的圆心为M，B为该圆上任意一点，当直线BM 与直线l：x+y-9=0 相交于点A时，圆上总存在点C使∠BAC=45°．
（1）当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
（2）求点A的横坐标的取值范围．
答案
（1）依题意M（2，2），A（4，5），kAM=
，3 2
设直线AC的斜率为k，则
=1，|k-
|3 2 |1+
k|3 2
解得k=-5或k=
，1 5
故所求直线AC的方程为5x+y-25=0或x-5y+21=0；
（2）圆的方程可化为（x-2）2+（y-2）2=（
）2，设A点的横坐标为a．34 2
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，kAB=
，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，7-a a-2
则可得k=
，直线AC的方程为y-（9-a）=5 2a-9
（x-a）5 2a-9
即5x-（2a-9）y-2a2+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即
≤|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81| 25+(2a-9)2
，34 2
化简得a2-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=
=|2-2+5| 2
＞5 2 2
，34 2
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．