由圆的方程（x-1）²+（y-1）²=4，得到圆心坐标为（1，1），圆的半径r=2，

（1）当直线平分圆时，即直线过圆的直径，把（1，1）代入y=x+m中，解得m=0；

（2）当直线与圆相切时，圆心（1，1）到直线y=x+m的距离d=

|-m|

2

=r=2，解得m=±2

2

；

（3）当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时，圆心（1，1）到直线的距离d=

|-m|

2

＜r=2，解得：-2

2

≤m≤2

2

．

所以，当m=0时，直线平分圆；当m=±2

2

时，直线与圆相切；当-2

2

≤m≤2

2

时，直线与圆有两个公共点．