问题
解答题
| 对定义在实数集R上的函数f1（x），f2（x），令F（x）=f1（x）+f2（x），已知对任意不同的实数x1，x2，|f1（x1）-f1（x2）|＞|f2（x1）-f2（x2）|． （1）若y=f1（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明； （2）若y=f2（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明； （3）求函数f(x)=x2+
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答案
（1）设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）
①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数
②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）-f1（x2）|＞|f2（x1）-f2（x2）|可得，-f1（x1）+f1（x2）|＞f2（x1）-f2（x2）
∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2）即F（x1）＜F（x2）
综上可得函数F（X）为单调递增的函数
（2）例如函数f1（x）=-3x，f2（x）=2x，则F（x）=2x-3x不是单调递增函数
（3）f′(x)=2x-
=1 4x2 8x3-1 4x2
∵x＞0由f′（x）≥0可得x≥
，f′（x）＜0可得0＜x＜1 2 1 2
函数f（x）的单调增区间是[
，+∞），单调减区间是（0，1 2
）1 2