问题
解答题
已知离心率为
（1）求椭圆C的方程； （2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且
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答案
（1）由
，解得：
=c a 2 2 a2=b2+c2
+(
)26 a2
=11 b2
，故椭圆C的方程为a2=8 b2=4 c2=4
+x2 8
=1．（4分）y2 4
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，
由
，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，（1分）y=kx+m
+x2 8
=1y2 4
则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，
由韦达定理得：
，（1分）x1+x2=- 4km 1+2k2 x1•x2= 2m2-8 1+2k2
则y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）
=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
．m2-8k2 1+2k2
由
⊥OA
得：OB
x1x2+y1y2=0，（1分）
即
+2m2-8 1+2k2
=0，化简得：3m2-8k2-8=0，（1分）m2-8k2 1+2k2
因为圆心到直线的距离d=
，（1分）|m| 1+k2
d2=
=m2 1+k2
=m2 1+ 3m2-8 8
，8 3
而r2=
，∴d2=r2，即d=r．（1分）8 3
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由
⊥OA
可以计算得A，B的坐标为(OB
，±2 6 3
)或(-2 6 3
，±2 6 3
)．2 6 3
此时直线AB的方程为x=±
．2 6 3
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）