问题
解答题
已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．
答案
（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））=x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-
，a+1 2
在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 -
≤(a+1)2，解得a≤-a+1 2
或a≥-1，因为a≠-2．3 2
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
当命题P真且命题Q假时，由
，解得a≥-1．a≤-
，或a≥-13 2 a≥-1 a≠-2
当命题P假且命题Q真时，由
，即得--
＜a＜-13 2 a＜-1 a≠-2
＜a＜-1．3 2
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-
，-1)=(-3 2
，+∞)．3 2
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-
，+∞)上递增，3 2
所以，f(2)＞6+2•(-
)+lg(-3 2
+2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）．3 2