问题
解答题
已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直线l与圆C相切的条件；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程；
（3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值．
答案
设直线l的方程为
+x a
=1，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=1，圆心C（1，1），半径r=1．y b
（1）直线l与圆C相切，则
=1，∴（a-2）（b-2）=2（4分）|b+a-ab| a2+b2
（2）设线段AB的中点M（x，y），则x=
，y=a 2
，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得(x-1)(y-1)=b 2
(x＞1，y＞1)（8分）1 2
（3）S△AOB=
|ab|=a+b-1=（a-2）+（b-2）+3≥21 2
+3=2(a-2)(b-2)
+32
当且仅当a=b=2+
时，△AOB的面积最小，最小值为22
+32