问题
解答题
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1） 2sinBcosC-sin（B-C）的值；（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．
答案
（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，
结合余弦定理知cosA=
=b2+c2-a2 2bc
=b2+c2-(b2+c2-bc) 2bc
，1 2
又A∈（0，π），∴A=
，π 3
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=
；3 2
（2）由a=2，结合正弦定理得：
=a sinA
=b sinB
=c sinC
=2 3 2
，4 3 3
∴b=
sinB，c=4 3 3
sinC，4 3 3
则a+b+c=2+
sinB+4 3 3
sinC4 3 3
=2+
sinB+4 3 3
sin（4 3 3
-B）2π 3
=2+2
sinB+2cosB=2+4sin（B+3
），π 6
可知周长的最大值为6．