（Ⅰ）令x₁=x₂=0，

由①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）≥3（1分）

又由②得f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3；（2分）

∴f（0）=3．（3分）

（Ⅱ）任取x₁，x₂∈[0，1]，且设x₁＜x₂，

则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3，

因为x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）≥3，即f（x₂-x₁）-3≥0，

∴f（x₁）≤f（x₂）．（5分）

∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4．（6分）

（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3(n∈N*)

（1）当n=1时，f(1)=f(

1

30

)=4=1+3=

1

30

+3（2），不等式成立；（7分）

（3）假设当n=k时，f(

1

3k-1

)≤

1

3k-1

+3(k∈N*)（4）

由f(

1

3k-1

)=f[

1

3k

+(

1

3k

+

1

3k

)]≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

+

1

3k

)-3≥f(

1

3k

)+f(

1

3k

)+f(

1

3k

)-6

得3f(

1

3k

)≤f(

1

3k-1

)+6≤

1

3k-1

+9.

即f(

1

3k

)≤

1

3k

+3.

所以，当n=k+1时，不等式成立；（10分）

由（1）、（2）可知，不等式f(

1

3n-1

)≤

1

3n-1

+3对一切正整数都成立．（11分）

于是，当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，)时，3x+3＞3×

1

3n

+3=

1

3n-1

+3≥f(

1

3n-1

)，

所以，f(x)≤f(

1

3n-1

)≤3x+3.（13分）