(1)由题意得得
∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(4分)
(2)由t=+平方得t2=2+2.由x∈[-1,1]得,t2∈[2,4],
所以t的取值范围是[,2].
又=t2-1,∴h(t)=a(t2-1)+t.
即h(t)=at2+t-a,定义域为[,2].(8分)
(3)由题意知g(a)即为函数h(t)=at2+t-a,t∈[,2]的最大值.
注意到直线t=-是抛物线h(t)=at2+t-a的对称轴,分以下几种情况讨论:
①当a>0时,函数y=h(t),t∈[,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,
由t=-<0知y=h(t)在[,2]上单调递增,∴g(a)=h(2)=a+2.
②当a=0时,h(t)=t,t∈[,2],∴g(a)=h(2)=2.
③当a<0时,函数y=h(t),t∈[,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,t=->0.
a若t=-∈(0,),即a<-时,则g(a)=h()=;
b若t=-∈[,2],即-≤a≤-时,则g(a)=h(-)=-a-;
c若t=-∈(2,+∞),即-<a<0时,则g(a)=h(2)=a+2;
综上有g(a)=.(14分)
当a>0时,>0,g()=+2,由g(a)=g()得,a+2=+2,a=±1.∴a=1.
当-<a<0时,<-2,此时g(a)=a+2,g()=,由a+2=解得a=-2与a>-矛盾.
∴满足g(a)=g()的所有实数a的取值集合是:{1}.(18分)