问题 解答题
设a为实数,函数f(x)=a
1-x2
+
1+x
+
1-x
的最大值为g(a).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)设t=
1+x
+
1-x
,把函数f(x)表示为t的函数h(t),并写出定义域;
(3)求g(a),并求当a>-
1
2
时满足g(a)=g(
1
a
)
的实数a的取值集合.
答案

(1)由题意得

1-x2≥0
1+x≥0
1-x≥0
-1≤x≤1
x≥-1
x≤1

∴函数f(x)的定义域为[-1,1].(4分)

(2)由t=

1+x
+
1-x
平方得t2=2+2
1-x2
.由x∈[-1,1]得,t2∈[2,4],

所以t的取值范围是[

2
,2].

1-x2
=
1
2
t2-1,∴h(t)=a(
1
2
t2-1)+t

h(t)=

1
2
at2+t-a,定义域为[
2
,2]
.(8分)

(3)由题意知g(a)即为函数h(t)=

1
2
at2+t-a,t∈[
2
,2]的最大值.

注意到直线t=-

1
a
是抛物线h(t)=
1
2
at2+t-a
的对称轴,分以下几种情况讨论:

①当a>0时,函数y=h(t),t∈[

2
,2]的图象是开口向上的抛物线的一段,

t=-

1
a
<0知y=h(t)在[
2
,2]
上单调递增,∴g(a)=h(2)=a+2.

②当a=0时,h(t)=t,t∈[

2
,2],∴g(a)=h(2)=2.

③当a<0时,函数y=h(t),t∈[

2
,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,t=-
1
a
>0

a若t=-

1
a
∈(0,
2
),即a<-
2
2
时,则g(a)=h(
2
)=
2

b若t=-

1
a
∈[
2
,2],即-
2
2
≤a≤-
1
2
时,则g(a)=h(-
1
a
)=-a-
1
2a

c若t=-

1
a
∈(2,+∞),即-
1
2
<a<0
时,则g(a)=h(2)=a+2;

综上有g(a)=

a+2         a>-
1
2
-a-
1
2a
     -
2
2
≤a≤-
1
2
2
             a<-
2
2
.(14分)

当a>0时,

1
a
>0,g(
1
a
)=
1
a
+2
,由g(a)=g(
1
a
)
得,a+2=
1
a
+2
,a=±1.∴a=1.

-

1
2
<a<0时,
1
a
<-2
,此时g(a)=a+2,g(
1
a
)=
2
,由a+2=
2
解得a=
2
-2
a>-
1
2
矛盾.

∴满足g(a)=g(

1
a
)的所有实数a的取值集合是:{1}.(18分)

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