问题 填空题

若直线l:ax+by=1(a>0,b>0)过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为______.

答案

∵直线l:ax+by=1(a>0,b>0)过点A(b,a),∴ab+ba=1,即ab=

1
2

由于半径OA=r,要使OA长为半径的圆的面积取最小,只要r2=OA2=a2+b2 最小.

由基本不等式可得 a2+b2≥2ab=1,当且仅当a=b=

2
2
时,取等号,故r2的最小值为1,

故以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为

2
2
x+
2
2
y=1,

2
x+
2
y=2,

故答案为

2
x+
2
y=2.

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单项选择题 A1/A2型题