问题
填空题
若直线l:ax+by=1(a>0,b>0)过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为______.
答案
∵直线l:ax+by=1(a>0,b>0)过点A(b,a),∴ab+ba=1,即ab=
.1 2
由于半径OA=r,要使OA长为半径的圆的面积取最小,只要r2=OA2=a2+b2 最小.
由基本不等式可得 a2+b2≥2ab=1,当且仅当a=b=
时,取等号,故r2的最小值为1,2 2
故以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积取最小值时直线l的方程为
x+2 2
y=1,2 2
即
x+2
y=2,2
故答案为
x+2
y=2.2