问题
解答题
已知函数f（x）=2x+2-x．（1）证明f（x）是偶函数；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明．
答案
（1）证明：f（x）的定义域为R，…（1分）
且对于任意x∈R，f（-x）=2-x+2x=f（x），所以f（x）是偶函数．…（4分）
（2）f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（5分）
证明如下：设x1，x2是（0，+∞）上的两个任意实数，且x1＜x2，则△x=x1-x2＜0，△y=f(x1)-f(x2)=(2x1+
)-(2x2+1 2x1
)=2x1-2x2+1 2x2
-1 2x1
=2x1-2x2+1 2x2
=(2x1-2x2)(1-2x2-2x1 2x1+x2
)．1 2x1+x2
因为0＜x1＜x2，所以 2x1＜2x2，2x1+x2＞1，所以2x1-2x2＜0，1-
＞0，从而△y＜0，1 2x1+x2
所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．…（10分）