（1）设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0

∴f（x₁）-f（x₂）＞0

∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；

（2）方程f（x）-3^x-m=0等价于m=f（x）-3^x，

由于m=f（x）-3^x在x∈[1，+∞）上 单调减

∴m≤

1

2

-3=-2

1

2

∴实数m的最大值为-2

1

2

；

（3）不存在

假设存在负数x₀，则：因为x₀为负数，所以0＜3^x＜1，所以0＜

2-x

x+1

＜1，

∴

1

2

＜x＜2，与前面的假设相矛盾，

所以，不存在负数x₀，使得f（x₀）=3x0成立，