（1）f（x）=

x    x ≤ 2 3 (x-1) 2 3 (x-1)    x ＞ 2 3 (x-1)

=

x   ，x∈[4，+∞)

&

2

3

(x-1)

& &x∈[0，4)

5分

（2）由f（x）的定义可知，f(x)=3|x-p1|这等价于3|x-p1|≤2•3|x-p2|（对所有实数x）

即 3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立．（*）                  8分

由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值为|p₁-p₂|，

故（*）等价于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件      11分

（3）1°如果|p₁-p₂|≤log₃2，则的图象关于直线x=p₁对称．因为f（a）=f（b），

所以区间[a，b]关于直线x=p₁对称．因为减区间为[a，p₁]，增区间为[p₁，b]，

所以单调增区间的长度和为

b-a

2

14分

2°如果|p₁-p₂|＞log₃2．

（1）当p₁-p₂＞log₃2时．f₁（x）=

3x-p1，x∈[p1，b] 3p1-x，x∈[a，p1]

，f₂（x）=

3x-p2+log32，x∈[p2，b] 3p 2-x+log32，x∈[a，p2]

当x∈[p₁，b]，

f1(x)

f2(x)

=3p2-p1-log32＜30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，所以f₁（x）＜f₂（x），

故f（x）=f₁（x）=3x-p1，当x∈[a，p₂]，

f1(x)

f2(x)

=3p1-p2-log32＞30=1，因为f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，

所以f₁（x）＞f₂（x）故f（x）=f₂（x）=3p2-x+log32

因为f（a）=f（b），所以3b-p1=3p2-a+log32，即a+b=p₁+p₂+log₃2

当x∈[p₂，p₁]时，令f₁（x）=f₂（x），则3p1-x=3x-p2+log32，所以x=

p1+p2-log32

2

，

当x∈[p₂，

p1+p2-log32

2

]时，f₁（x）≥f₂（x），所以f（x）=f₂（x）=3x-p2+log32x∈[

p1+p2-log32

2

，p1]时，f₁（x）≤f₂（x），所以f（x）=f₁（x）=3p1-xf（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₁+

p1+p2-log32

2

-p2

=b-

p1+p2+log32

2

=b-

a+b

2

=

b-a

2

16分

（2）当p₂-p₁＞log₃2时．类似可求得：f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和b-p₂+

p1+p2+log32

2

-p1=b-

p1+p2-log32

2

=

b-a

2

综上得f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为

b-a

2

18分．