f（x）=（1+cos2x）sin²x=（1+cos2x）•

1-cos2x

2

=

1-cos22x

2

=

1

4

-

1

4

cos4x，

因为f(α)=

1

4

，即

1

4

-

1

4

cos4α=

1

4

，解得α=

kπ

4

+

π

8

，k∈Z，

所以f（α+

π

8

）=

1

4

-

1

4

cos4（α+

π

8

）=

1

4

-

1

4

cos4（

kπ

4

+

π

4

）=

1

4

-

1

4

cos（kπ+π），

当k为偶数时，f（α+

π

8

）=

1

2

，当k为奇数时，f（α+

π

8

）=0，

所以f（α+

π

8

）=

1

2

或0，

故答案为：

1

2

或0．