问题
解答题
已知函数f（logax）=
（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性； （2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围； （3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，求函数a的取值范围． |
答案
（1）由f（logax）=
(x-x-1)，得f(x)=a a2-1
(ax-a-x)，…2’a a2-1
因为定义域为R，
f(-x)=
(a-x-ax)=-f（x）a a2-1
所以f（x）为奇函数，…4’
因为f′(x)=
(ax+a-x)，a•lna a2-1
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m2）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），，
又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m2＜1，得1＜m＜
；…10’2
（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）-6的值恒为负数，
所以f（x）-6＜0恒成立，
则f（2）-6=
(a2-a-2)-6≤0，…12’a a2-1
整理得a2-6a+1≤0，所以3-2
≤a≤3+22
，2
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[3-2
，1）∪（1，≤3+22
]．…14’2