∵已知锐角A，B满足tan（α+β）=3tanA，∴tanα＞0，tanβ＞0，

且

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=3tanα，化简可得 tanβ=

2tanα

1+3tan2α

=

2

1 tanα +3tanα

≤

2

2 3

=

3

3

当且仅当

1

tanα

=3tanα 时，取等号，故tanβ的最大值为

3

3

．

故答案为：

3

3