（1）当a＜0时，函数f（x）是[1，+∞）单调增函数．（1分）

证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，（4分）

∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0

∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0，（6分）

∴f（x₁）＜f（x₂）

由单调性定义知f（x）为[1，+∞）单调增函数．（8分）

（2）当a=

1

2

时，同理可证f（x）在[1，∞）是增函数，（10分）

∴当x=1时，f（x）的最小值为f(1)=

7

2

（12分）

又f（x）无最大值，（14分）

∴f（x）只存在最小值为

7

2

．（15分）

（若用导数处理则类似给分）