问题
解答题
（理）设函数f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab2恒成立，求实数b的取值范围．
答案
（1）a=2时，f(x)=x2+|2x-2|=
，x2+2x-2 x2-2x+2
，…（2分）x≥1 x＜1
∴函数y=f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1]． …（6分）
（2）f(x)=
，x2+2x-a x2-2x+a
，…（8分）x≥ a 2 x＜ a 2
∵a＞-2，∴
＞-1，a 2
当a≥2时，函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1=2，解得a=3符合题意； …（10分）
当-2＜a＜2时，函数y=f（x）的最小值为f(
)=a 2
=2，无解；a2 4
综上，a=3． …（12分）
（3）由（2）知，当a≥2时函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1，
所以a-1≥ab2（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b2-1）+1（a≥2），…（14分）
有：
，故-b2-1≤0 2(b2-1)+1≤0
≤b≤2 2
． …（16分）2 2