（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），

所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．

在f(log2x)=

-x+a

x+1

中令x=1得出f（0）=

a-1

2

0，所以a=1

令log₂x=t，则x=2^t，y=f（t）=f(x)=

-2t+1

2t+1

（t∈R）

所以f(x)=

-2x+1

2x+1

（2）减函数

证明：任取 x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，

由（1）f(x2)-f(x1)=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，

∴0＜2x1＜2x2，

∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0

∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0

∴该函数在定义域R上是减函数

（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），

∵f（x）是奇函数∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），由（2），f（x）是减函数

∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，

即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得k＜-

1

3

即为所求．