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问题 解答题
已知函数f(x)=cos(x-
π
4
)．
（Ⅰ）若f(α)=
7
2
10
，求sin2α的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+
π
2
)，求函数g（x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值．
答案

（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-

π
4
)=
7
2
10
，

∴

2
2
(cosα+sinα)=
7
2
10
，得 cosα+sinα=
7
5
．

两边平方得，sin2α+2sinαcosα+cos2α=

49
25
，

即1+sin2α=

49
25
，可得sin2α=
24
25
．…（6分）

（II）g(x)=f(x)•f(x+

π
2
)=cos(x-
π
4
)•cos(x+
π
4
)

=

2
2
(cosx+sinx)•
2
2
(cosx-sinx)

=

1
2
(cos2x-sin2x)=
1
2
cos2x．…（10分）

当x∈[-

π
6
，
π
3
]时，2x∈[-
π
3
，
2π
3
]．

所以，当x=0时，g（x）的最大值为

1
2
；当x=
π
3
时，g（x）的最小值为-
1
4
．

即函数g（x）在区间[-

π
6
，
π
3
]上的最大值为g（0）=
1
2
，最小值为g（
π
3
）=-
1
4
．…（13分）

问答题

某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在平直轨道上运动到C点，并越过壕沟．已知赛车质量m=0.1kg，通电后以额定功率P=1.4W工作，水平轨道的摩擦阻力恒为0.20N．图中L=10.0m，BC=1.5m，R=0.32m，h=1.25m，S=1.5m．重力加速度g取10m/s2．求：

（1）赛车要越过壕沟，离开C点的速度至少多大？

（2）赛车要通过光滑竖直轨道，刚进入B点时的最小速度多大？赛车的电动机在AB段至少工作多长时间？

（3）要使赛车完成比赛，赛车离开光滑竖直轨道后，电动机在BC段是否还要继续工作？（要通过计算回答）
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单项选择题

紫外线的灭菌作用在于破坏了微生物细胞内的（）

A、脱氧核糖核酸

B、核糖核酸

C、多核苷链

D、胸腺嘧啶

E、都不是
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