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问题 解答题
已知函数f(x)=cos(x-
π
4
)．
（Ⅰ）若f(α)=
7
2
10
，求sin2α的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+
π
2
)，求函数g（x）在区间[-
π
6
，
π
3
]上的最大值和最小值．
答案

（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-

π
4
)=
7
2
10
，

∴

2
2
(cosα+sinα)=
7
2
10
，得 cosα+sinα=
7
5
．

两边平方得，sin2α+2sinαcosα+cos2α=

49
25
，

即1+sin2α=

49
25
，可得sin2α=
24
25
．…（6分）

（II）g(x)=f(x)•f(x+

π
2
)=cos(x-
π
4
)•cos(x+
π
4
)

=

2
2
(cosx+sinx)•
2
2
(cosx-sinx)

=

1
2
(cos2x-sin2x)=
1
2
cos2x．…（10分）

当x∈[-

π
6
，
π
3
]时，2x∈[-
π
3
，
2π
3
]．

所以，当x=0时，g（x）的最大值为

1
2
；当x=
π
3
时，g（x）的最小值为-
1
4
．

即函数g（x）在区间[-

π
6
，
π
3
]上的最大值为g（0）=
1
2
，最小值为g（
π
3
）=-
1
4
．…（13分）

问答题 简答题

九十年代以来，新开发的克劳斯尾气处理工艺有哪些？
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问答题

分冬青油是天然香料之一，其主要成分为水杨酸甲酯，可由水杨酸(邻羟基苯甲酸)和甲醇作原料在浓硫酸催化下酯化而得。

实验步骤：

Ⅰ．如图，在100 mL三口烧瓶中放入6.9 g (0.05 mol)水杨酸和24 g(30 mL，0.75 mol)甲醇，向混合物中加入约10 mL甲苯,再小心地加入8 mL浓硫酸，摇动混匀：加入1～2粒沸石，装上回流冷凝管在石棉网上保持85—95℃，加热回流1.5－2小时：

Ⅱ．待装置冷却后，分离出甲醇，向烧瓶中加入50 mL，水，然后转移至分液漏斗，分出下层产物，弃去上层水层，有机层再倒入分液漏斗中；依次用50 mL5％NaHCO3溶液洗1次(溶液呈弱碱性)，30 mL水洗一次(产物皆在下层)，有机层得到粗酯；

Ⅲ．将粗酯进行蒸馏，收集221℃～224℃的馏分。产品经0.5 g无水CaCl2干燥后称重。

常用物理常数：

请根据以上信息回答下列问题：

（1）制备冬青油的化学方程式为______________。

（2）制备冬青油时，最合适的加热方法是_______________。实验中加入甲苯作带水剂的目的是____________________。

（3）反应结束冷却后，分离甲醇的操作是：___________________;

（4）在提纯粗产品的过程中，用碳酸氢钠溶液洗涤主要除去的杂质是____________：若

改用氢氧化钠溶液是否可以____________(填“可以”或“不可以”)，其原因是________________。

（5）检验产品中是否含有水杨酸的化学方法是__________________。最终称得产品的质量为4.2 g，则所得水杨酸甲酯的产率为___________(保留两位有效数字)。
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