问题 选择题
若不等式m≤
1
2x
+
2
1-x
当x∈(0,l)时恒成立,则实数m的最大值为(  )
A.9B.
9
2
C.5D.
5
2
答案

设f(x)=

1
2x
+
2
1-x
=
1
2
x
+
2
1-x
(0<x<1)

1
2
x
+
2
1-x
=[x+(1-x)](
1
2
x
+
2
1-x
)=
5
2
+
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x

∵x∈(0,l),得x>0且1-x>0

1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
≥2
1
2
(1-x)
x
×
2x
1-x
=2,

当且仅当

1
2
(1-x)
x
=
2x
1-x
=1,即x=
1
3
1
2
(1-x)
x
+
2x
1-x
的最小值为2

∴f(x)=

1
2x
+
2
1-x
的最小值为f(
1
3
)=
9
2

而不等式m≤

1
2x
+
2
1-x
当x∈(0,l)时恒成立,即m≤(
1
2x
+
2
1-x
min

因此,可得实数m的最大值为

9
2

故选:B

单项选择题
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