问题
解答题
| 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限． （1）求证：以线段FA为直径的圆与Y轴相切； （2）若
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答案
证明：（1）由已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（
，0），p 2
设A（x1，y1），则圆心坐标为(
，2x1-p 4
)，y1 2
圆心到y轴的距离为
．…（2分）p-2x1 4
圆的半径为
=|FA| 2
(1 2
-x1)=p 2
，…（4分）p-2x1 4
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切． …（5分）
（2）设P（0，y0），B（x2，y2），由
=λ1FA
，AP
=λ2BF
，得λ1＞0，λ2＞0(x1+FA
，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，…x2=λ22x1…（6分）p 2
(-
-x2，-y2)=λ2(x1+p 2
，y1)．（7分）p 2
∴x1+
=-λ1x1①p 2
-
-x2=λ2(x1+p 2
)②p 2
-y2=λ2y1③…（10分）
∵y22=-2px2，y12=-2px1．
将③变形为y22=λ22y12，∴x2=λ22x1．…（11分）
将代入②，整理得x1=-
…（12分）p 2λ2
代入①得-
+1=1 λ2
．…（13分）λ1 λ2
即λ2-λ1=1．…（14分）