∵f(x)=k+2

x+1

不论k为何值均为增函数，故满足条件（1）

又∵f(x)=k+2

x+1

是递增闭函数

∴f（x）=x在[-1，+∞）内有两个不等的实根

即-(x+1)+2

x+1

+1+k=0在[-1，+∞）内有两个不等的实根

令t=

x+1

（t≥0）

则方程-t²+2t+1+k=0有两个不等的非负根

则

△=4+4(1+k)＞0 1+k≤0

解得-2＜k≤-1

故实数k的取值范围是（-2，-1]

故选C