问题 解答题

已知直线l:x=4与x轴相交于点M,动点P满足PM⊥PO(O是坐标原点).

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)试在直线l上确定一点D(异于M点),过点D作曲线C的切线,使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点.

答案

(1)依题意,M(4,0)…(1分)

设P(x,y)(x≠0且x≠4),由PM⊥PO,得

PM
PO
=0,即x(x-4)+y2=0…(4分)

整理得:动点P的轨迹C的方程为(x-2)2+y2=4(x≠0且x≠4)…(6分)

(2)因为DE、DM都是圆(x-2)2+y2=4的切线,所以DE=DM…(9分)

因为E点是DF的中点,所以DF=2DE=2DM,所以∠DFN=

π
6
…(11分)

设C(2,0),在△CEF中,∠CEF=

π
2
,∠CFE=
π
6
,CE=2,

所以CF=4,FM=6…(13分)

从而DM=2

3
,故D(4,±2
3
)…(15分)

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