已知二次函数f（x）满足：f（1-x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1

问题解答题

已知二次函数f（x）满足：f（1-x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

答案

（I）设f（x）解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）…（2分）

∵f（1-x）=f（x+1）

∴f（x）对称轴为x=1，即-

=1…①…（4分）

又f（0）=2，f（1）=1

∴

c=2

a+b+c=1

…②…（6分）

所以联立①②，得a=1，b=-2，c=2…（8分）

所以f（x）解析式为：y=x²-2x+2…（9分）

（Ⅱ）由（I）可得：y=x²-2x+2=（x-1）²+1

所以结合二次函数的性质可得：f（x）单调增区间为（1，+∞）；…（11分）

并且f（x）单调减区间为（-∞，1）；…（13分）