问题
填空题
对于函数f(x)=x2+lg(x+
①f（x）的定义域为R； ②f（x）在（0，+∞）上是增函数； ③f（x）是偶函数； ④若已知f（a）=m，则f（-a）=2a2-m． 正确的命题是______． |
答案
①要使函数有意义，须x+
＞0，而x+x2+1
＞0恒成立，x2+1
∴函数的定义域为R，故①正确；
②已知函数y=x2在（0，+∞）上是增函数；下面判定函数y=lg（x+
）也是增函数，x2+1
令t=x+
，则y=lgt在（0，+∞）上是增函数，而t=x+x2+1
在R上是增函数，x2+1
根据复合函数的单调性可知y=lg（x+
）在R上是增函数，x2+1
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，故②正确；
③f(-1)=1 +lg(-1+
)=1 +lg(-1+1+1
)，2
而f(1)=1 +lg(1+
)=1 +lg(1+1+1
)，2
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函数，故③错；
④令g（x）=f（x）-x2=lg（x+
），则g（x）+g（-x）=lg（x+x2+1
）+lg（-x+x2+1
）(-x)2+1
=lg[(x+
)(-x+x2+1
)]=lg1=0，(-x)2+1
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函数；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a2=m-a2，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a2，
∴f（-a）=g（-a）+a2=2a2-m，故④正确；
故正确的命题是①②④，
故答案为：①②④．