问题
解答题
定义在（0，+∞）上的函数f （x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（Ⅰ）计算f（1）；（Ⅱ）证明f （x）在（0，+∞）上是减函数；（Ⅲ）当f(2)=-
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答案
（Ⅰ）∵定义在（0，+∞）上的函数f （x）对于任意的m，n∈（0，+∞），满足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
证明：（II）设0＜x1＜x2，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f(x2)-f(x1)=f(
x1)-f(x1)=f(x2 x1
)+f(x1)-f(x1)=f(x2 x1
)．x2 x1
因为0＜x1＜x2，则
＞1，而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x2）＜f（x1）x2 x1
于是f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（Ⅲ）因为f（4）=f（2）+f（2）=-1，所以f（x2-3x）＞f（4），
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜x2-3x＜4，
解得-1＜x＜0或3＜x＜4，
故所求不等式的解集为{x|-1＜x＜0或3＜x＜4}．