（1）∵α+β=

π

4

，且sinβ=sinαcos（α+β）．

∴sinβ=

2

2

sin（

π

4

-β），整理得

3

2

sinβ-

1

2

cosβ=0，

∵β为锐角，

∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

．

（2）由题意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，

两边都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，

∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+ 1 tanα

∵α是锐角，∴2tanα+

1

tanα

≥2

2tanα• 1 tanα

=2

2

因此，tanβ=

1

2tanα+ 1 tanα

≤

1

2 2

=

2

4

．

当且仅当

1

tanα

=2tanα时，取“=”号，

∴tanα=

2

2

时，tanβ取得最大值

2

4

，

由此可得，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

．