问题
解答题
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D、E分别为AB、BC的中点，且
（1）求证：a2，b2，c2成等差数列； （2）求∠B及sinB+cosB的取值范围． |
答案
（1）证明：由D、E分别为AB、BC的中点，可得
B•A
D=C
C•B
E，A
（
-CB
）•（CA
+CB
）=（CA
-AC
）•（AB
-AC
），∴AB
2- CB
2=CA
2-AC
2，AB
∴a2-b2=b2-c2，
∴a2，b2，c2成等差数列．
（2）由（1）得b2=
，a2+c2 2
由余弦定理得 cosB=
=a2+c2-b2 2ac
=a2+c2- a2+c2 2 2ac
≥a2+c2 4ac
，又B∈(0，π)，故0＜B≤1 2
．π 3
而 sinB+cosB=
sin(B+2
)，B+π 4
∈(π 4
，π 4
]，7π 12
∴1＜sinB+cosB≤
，2
sinB+cosB的取值范围为（1，
]．2