（1）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，

由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），

所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），

又x＞0时恒有f（x）＞0，且x₂-x₁＞0，

所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，所以f（x₂）＞f（x₁），

故f（x）在R上为增函数；

（2）令m=n=0，则由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，

f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0⇒f[（k•3^x）+（3^x-9^x-2）]＜f（0），

由（1）知f（x）为增函数，所以（k•3^x）+（3^x-9^x-2）＜0，即（k+1）•3^x-9^x-2＜0，也即（k+1）＜3x+

2

3x

，

所以f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对∀x∈R恒成立，等价于（k+1）＜3x+

2

3x

恒成立，

又3x+

2

3x

≥2

3x• 2 3x

=2

2

，当且仅当3x=

2

3x

，即x=log3

2

时取得等号，

所以k+1＜2

2

，即k＜2

2

-1，

故实数k的取值范围为：k＜2

2

-1．