问题 填空题
f(x)满足∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=
7-f2(x)
,当x∈[0,1)时,f(x)=
x+2(0≤x<
5
-2)
5
(
5
-2≤x<1)
则f(2011-
3
)
=______.
答案

因为f(x)满足∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=

7-f2(x)
⇔f2(x+1)+f2(x)=7    ①

                                                            f2(x)+f2(x-1)=7    ②

         ①-②得:f2(x+1)-f2(x-1)=0⇔f(x+1)+f(x-1)=0(舍)或f(x+1)-f(x-1)=0,

由f(x+1)-f(x-1)=0,式子中的x被x+1代替得:f(x+2)=f(x),利用函数的周期的定义可知函数f(x)的周期T=2,

所以则f(2011-

3
)=f(2×1005+1-
3
)
=f(1-
3
),

又因为当x∈[0,1)时,f(x)=

x+2(0≤x<
5
-2)
5
(
5
-2≤x<1)
,而f(x)满足∀x∈R,f(x)≥0,f(x+1)=
7-f2(x)
⇒f2(x+1)+f2(x)=7⇒f2(1-
3
)=7-f2(2-
3
)
   又f(2-
3
 )=4-
3
  所以f(1-
3
)=
7-f2(2-
3
)
 =
2

故答案为:

2

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