【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20

问题解答题

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，

），若直线l过点P，且倾斜角为

，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

答案

21-1．（选修4-2：矩阵与变换）

（1）∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换

∴矩阵M=

2	0
0	3

，

∴它的特征值为2和3，

∴对应的特征向量为

1
0

及

0
1

；

（2）M^-1=

，

椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为x²+y²=1．

21-2．（选修4-4：参数方程）

（1）∵P的直角坐标为（1，-5），

直线l过点P，且倾斜角为

，

直线l的参数方程为

x=1+

y=-5+

，

又∵圆C以M为圆心、4为半径

圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．

（2）因为M（4，

）对应的直角坐标为（0，4），

直线l的普通方程为

x-y-5-

=0，

∴圆心到直线l的距离d=

|0-4-5-

3+1

＞5，

所以直线l与圆C相离．