如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交

问题解答题

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE=AB，OD=2 .

（1）求∠CDB的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比.

①求弦CE的长；

②在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.

答案

解：(1)∵AB是⊙O的直径，DE=AB，

∴OA=OC=OE=DE. 则∠EOD=∠CDB， ∠OCE=∠OEC.

设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.

又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.

∴x+2x=108，x=36°.

∴∠CDB=36°；

（2）①∵∠COB=108°，∴∠COD=72°. 又∠OCD=2x=72°，

∴∠OCD=∠COD.∴OD=CD.

∴△COD是黄金三角形. ∴.

∵OD=2，∴OC=-1，

∵CD=OD=2，DE=OC=-1，

∴CE=CD-DE=2-(-1)=3-；

. ②存在，有三个符合条件的点P₁、P₂、P₃（如图所示）.

ⅰ）以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、

CD得到点P₁、P₂ .

ⅱ）以OE为腰的黄金三角形：点P₃与点A重合.